2017年数学必修四期末测试题及答案

　　一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

　　1.有下列四个表达式：

　　①|a+b|=|a|+|b|;

　　②|a-b|=±(|a|-|b|);

　　③a2>|a|2;

　　④|a•b|=|a|•|b|.

　　其中正确的个数为(　　)

　　A.0 B.2

　　C.3 D.4

　　解析　对于①仅当a与b同向时成立.对于②左边|a-b|≥0，而右边可能≤0，∴不成立.对于③∵a2=|a|2，∴a2>|a|2不成立.对于④当a⊥b时不成立，综上知，四个式子都是错误的.

　　答案　A

　　2.下列命题中，正确的是(　　)

　　A.a=(-2,5)与b=(4，-10)方向相同

　　B.a=(4,10)与b=(-2，-5)方向相反

　　C.a=(-3,1)与b=(-2，-5)方向相反

　　D.a=(2,4)与b=(-3,1)的夹角为锐角

　　解析　在B中，a=(4,10)=-2(-2，-5)=-2b，

　　∴a与b方向相反.

　　答案　B

　　3.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a+3b|=(　　)

　　A.7 B.10

　　C.13 D.4

　　解析　∵|a+3b|2=(a+3b)2=a2+9b2+6a•b=1+9+6|a||b|cos60°=13，∴|a+3b|=13.

　　答案　C

　　4.已知向量a=8+12x，x，b=(x+1,2)，其中x>0，若a‖b，则x的值为(　　)

　　A.8 B.4

　　C.2 D.0

　　解析　∵a‖b，∴(8+12x)×2-x(x+1)=0，即x2=16，又x>0，∴x=4.

　　答案　B

　　5.在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足AP→=2PM→，则AP→•(PB→+PC→)等于(　　)

　　A.49 B.43

　　C.-43 D.-49

　　解析　M为BC的中点，得PB→+PC→=2PM→=AP→，

　　∴AP→•(PB→+PC→)=AP→2.

　　又∵AP→=2PM→，∴|AP→|=23|AM→|=23.

　　∴AP→2=|AP→|2=49.

　　答案　A

　　6.若向量a=(1,1)，b=(2,5)，c=(3，x)，满足条件(8a-b)•c=30，则x=(　　)

　　A.6 B.5

　　C.4 D.3

　　解析　8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3)，c=(3，x)，

　　∴(8a-b)•c=(6,3)•(3，x)=18+3x.

　　又(8a-b)•c=30，∴18+3x=30，x=4.

　　答案　C

　　7.向量a=(-1,1)，且a与a+2b方向相同，则a•b的取值范围是(　　)

　　A.(-1,1) B.(-1，+∞)

　　C.(1，+∞) D.(-∞，1)

　　解析　依题意可设a+2b=λa(λ>0)，

　　则b=12(λ-1)a，

　　∴a•b=12(λ-1)a2=12(λ-1)×2=λ-1>-1.

　　答案　B

　　8.设单位向量e1，e2的夹角为60°，则向量3e1+4e2与向量e1的夹角的余弦值为(　　)

　　A.34 B.537

　　C.2537 D.53737

　　解析　∵(3e1+4e2)•e1=3e21+4e1•e2=3×12+4×1×1×cos60°=5，|3e1+4e2|2=9e21+16e22+24e1•e2=9×12+16×12+24×1×1×cos60°=37.

　　∴|3e1+4e2|=37.

　　设3e1+4e2与e1的夹角为θ，则

　　cosθ=537×1=537.

　　答案　D

　　9.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC→=a，BD→=b，则AF→=(　　)

　　A.14a+12b B.23a+13b

　　C.12a+14b D.13a+23b

　　解析　如图所示，AF→=AD→+DF→，

　　由题意知，DE：BE=DF：BA=1：3.

　　∴DF→=13AB→.

　　∴AF→=12a+12b+13(12a-12b)=23a+13b.

　　答案　B

　　10.已知点B为线段AC的中点，且A点坐标为(-3,1)，B点坐标为12，32，则C点坐标为(　　)

　　A.(1，-3) B.-54，54

　　C.(4,2) D.(-2,4)

　　解析　设C(x，y)，则由AB→=BC→，得

　　12--3，32-1=x-12，y-32，

　　∴x-12=72，y-32=12，⇒x=4，y=2，∴C(4,2).

　　答案　C

　　11.已知|a|=2|b|≠0，且关于x的方程x2+|a|x+a•b=0有实根，则a与b夹角的取值范围是(　　)

　　A.0，π6 B.π3，π

　　C.π3，2π3 D.π6，π

　　解析　设a与b的夹角为θ，

　　∵Δ=|a|2-4a•b≥0，

　　∴a•b≤|a|24，∴cosθ=a•b|a||b|≤|a|24|a||b|=12.

　　∵θ∈[0，π]，∴θ∈π3，π.

　　答案　B

　　12.在△ABC所在平面内有一点P，如果PA→+PB→+PC→=AB→，则△PAB与△ABC的面积之比是(　　)

　　A.13 B.12

　　C.23 D.34

　　解析　因为PA→+PB→+PC→=AB→=PB→-PA→，所以2PA→+PC→=0，PC→=-2PA→=2AP→，所以点P是线段AC的三等分点(如图所示).所以△PAB与△ABC的面积之比是13.

　　答案　A

　　二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.将答案填在题中横线上)

　　13.已知a=(2cosθ，2sinθ)，b=(3，3)，且a与b共线，θ∈[0,2π)，则θ=________.

　　解析　由a‖b，得23cosθ=6sinθ，∵cosθ≠0，

　　∴tanθ=33，又θ∈[0,2π)，∴θ=π6或7π6.

　　答案　π6或76π

　　14.假设|a|=25，b=(-1,3)，若a⊥b，则a=________.

　　解析　设a=(x，y)，则有x2+y2=20.①

　　又a⊥b，∴a•b=0，∴-x+3y=0.②

　　由①②解得x=32，y=2，或x=-32，

　　y=-2，

　　∴a=(32，2)，或a=(-32，-2).

　　答案　(32，2)或(-32，-2)

　　15.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若AB→•AC→=BA→•BC→=2，那么c=__________.

　　解析　由题知

　　AB→•AC→+BA→•BC→=2，

　　即AB→•AC→-AB→•BC→=AB→•(AC→+CB→)=AB→2=2⇒c=|AB→|=2.

　　答案　2

　　16.关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：

　　①若a•b=a•c，则b=c;②若a=(1，k)，b=(-2,6)，a‖b，则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|，则a与a+b的夹角为60°.

　　其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号)

　　解析

　　当a=0时，①不成立;对于②，若a‖b，则-2k=6，∴k=-3，②成立;对于③，由于|a|=|b|=|a-b|，则以|a|，|b|为邻边的平行四边形为菱形，如图.∠BAD=60°，AC→=a+b，由菱形的性质可知，a与a+b的夹角为∠BAC=30°.

　　答案　②

　　三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

　　17.(10分)已知|a|=3，|b|=2，a与b的夹角为60°，c=3a+5b，d=ma-3b.

　　(1)当m为何值时，c与d垂直?

　　(2)当m为何值时，c与d共线?

　　解　(1)令c•d=0，则(3a+5b)•(ma-3b)=0，

　　即3m|a|2-15|b|2+(5m-9)a•b=0，

　　解得m=2914.

　　故当m=2914时，c⊥d.

　　(2)令c=λd，则3a+5b=λ(ma-3b)

　　即(3-λm)a+(5+3λ)b=0，

　　∵a，b不共线，

　　∴3-λm=0，5+3λ=0，解得λ=-53，m=-95.

　　故当m=-95时，c与d共线.

　　18.(12分)如图所示，在△ABC中，∠C为直角，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上的点，且AE=2EB，求证：AD⊥CE.

　　证明　设此等腰直角三角形的直角边长为a，则

　　AD→•CE→=(AC→+CD→)•(CA→+AE→)

　　=AC→•CA→+CD→•CA→+AC→•AE→+CD→•AE→

　　=-a2+0+a•223a•22+a2•223a•22

　　=-a2+23a2+13a2=0，

　　∴AD→⊥CE→，∴AD⊥CE.

　　19.(12分)已知在△ABC中，A(2，-1)，B(3,2)，C(-3，-1)，AD为BC边上的高，求|AD→|与点D的坐标.

　　解　设D点坐标为(x，y)，则AD→=(x-2，y+1)，

　　BC→=(-6，-3)，BD→=(x-3，y-2)，

　　∵D在直线BC上，即BD→与BC→共线，

　　∴存在实数λ，使BD→=λBC→，

　　即(x-3，y-2)=λ(-6，-3).

　　∴x-3=-6λ，y-2=-3λ，∴x-3=2(y-2)，

　　即x-2y+1=0.①

　　又∵AD⊥BC，∴AD→•BC→=0，

　　即(x-2，y+1)•(-6，-3)=0.

　　∴-6(x-2)-3(y+1)=0.②

　　由①②可得x=1，y=1.

　　∴|AD→|= 1-22+22=5，

　　即|AD→|=5，D(1,1).

　　20.(12分)在直角坐标系中，已知OA→=(4，-4)，OB→=(5,1)，OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|，求MB→的坐标.

　　解　设点M的坐标为M(x，y).

　　∵OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|，

　　∴OM→⊥MB→，∴OM→•MB→=0.

　　又OM→=(x，y)，MB→=(5-x,1-y)，

　　∴x(5-x)+y(1-y)=0.

　　又点O，M，A三点共线，∴OM→‖OA→.

　　∴x4=y-4.

　　∴x5-x+y1-y=0，x4=y-4，解得x=2，y=-2.

　　∴MB→=OB→-OM→=(5-2,1+2)=(3,3).

　　21.(12分)

　　如图，在平面斜坐标系xOy中.∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的;若OP→=xe1+ye2(其中e1，e2分别为与x轴，y轴同方向的单位向量)，则点P的斜坐标为(x，y).

　　(1)若点P的斜坐标为(2，-2)，求点P到O的距离|OP|;

　　(2)求以O为圆心，以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.

　　解　(1)因为点P的斜坐标为(2，-2)，故OP→=2e1-2e2，|OP→|2=(2e1-2e2)2=8-8e1•e2=8-8cos60°=4，

　　∴|OP→|=2，即|OP|=2.

　　(2)设圆上动点M的坐标为(x，y)，则OM→=xe1+ye2，

　　又|OM→|=1.故(xe1+ye2)2=1.

　　∴x2+y2+2xye1•e2=1.即x2+y2+xy=1.

　　故所求方程为x2+y2+xy-1=0.

　　22.(12分)如图，在四边形ABCD中，BC→=λAD→(λ∈R)，|AB→|=|AD→|=2，|CB→-CD→|=23，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形.

　　(1)求λ的值;

　　(2)求CB→•BA→的值.

　　解　(1)因为BC→=λAD→，

　　所以BC‖AD，

　　且|BC→|=λ|AD→|.

　　因为|AB→|=|AD→|=2，

　　所以|BC→|=2λ.

　　又|CB→-CD→|=23，

　　所以|BD→|=23.

　　作AH⊥BD交BD于H，

　　则H为BD的中点.

　　在Rt△AHB中，有

　　cos∠ABH=BHAB=32，

　　于是∠ABH=30°，

　　所以∠ADB=∠DBC=30°.

　　而∠BDC=90°，

　　所以BD=BC•cos30°，即23=2λ•32，

　　解得λ=2.

　　(2)由(1)知，

　　∠ABC=60°，|CB→|=4，

　　所以CB→与BA→的夹角为120°，

　　故CB→•BA→=|CB→|•|BA→|cos120°=-4.