当前位置:首页 > 职场资讯 > 职场头条

2017年数学必修四期末测试题及答案

日期:2020-01-16 21:03:05

  2017年数学必修四期末测试题及答案

  一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

  1.有下列四个表达式:

  ①|a+b|=|a|+|b|;

  ②|a-b|=±(|a|-|b|);

  ③a2>|a|2;

  ④|a•b|=|a|•|b|.

  其中正确的个数为(  )

  A.0 B.2

  C.3 D.4

  解析 对于①仅当a与b同向时成立.对于②左边|a-b|≥0,而右边可能≤0,∴不成立.对于③∵a2=|a|2,∴a2>|a|2不成立.对于④当a⊥b时不成立,综上知,四个式子都是错误的.

  答案 A

  2.下列命题中,正确的是(  )

  A.a=(-2,5)与b=(4,-10)方向相同

  B.a=(4,10)与b=(-2,-5)方向相反

  C.a=(-3,1)与b=(-2,-5)方向相反

  D.a=(2,4)与b=(-3,1)的夹角为锐角

  解析 在B中,a=(4,10)=-2(-2,-5)=-2b,

  ∴a与b方向相反.

  答案 B

  3.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=(  )

  A.7 B.10

  C.13 D.4

  解析 ∵|a+3b|2=(a+3b)2=a2+9b2+6a•b=1+9+6|a||b|cos60°=13,∴|a+3b|=13.

  答案 C

  4.已知向量a=8+12x,x,b=(x+1,2),其中x>0,若a‖b,则x的值为(  )

  A.8 B.4

  C.2 D.0

  解析 ∵a‖b,∴(8+12x)×2-x(x+1)=0,即x2=16,又x>0,∴x=4.

  答案 B

  5.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足AP→=2PM→,则AP→•(PB→+PC→)等于(  )

  A.49 B.43

  C.-43 D.-49

  解析 M为BC的中点,得PB→+PC→=2PM→=AP→,

  ∴AP→•(PB→+PC→)=AP→2.

  又∵AP→=2PM→,∴|AP→|=23|AM→|=23.

  ∴AP→2=|AP→|2=49.

  答案 A

  6.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)•c=30,则x=(  )

  A.6 B.5

  C.4 D.3

  解析 8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3),c=(3,x),

  ∴(8a-b)•c=(6,3)•(3,x)=18+3x.

  又(8a-b)•c=30,∴18+3x=30,x=4.

  答案 C

  7.向量a=(-1,1),且a与a+2b方向相同,则a•b的取值范围是(  )

  A.(-1,1) B.(-1,+∞)

  C.(1,+∞) D.(-∞,1)

  解析 依题意可设a+2b=λa(λ>0),

  则b=12(λ-1)a,

  ∴a•b=12(λ-1)a2=12(λ-1)×2=λ-1>-1.

  答案 B

  8.设单位向量e1,e2的夹角为60°,则向量3e1+4e2与向量e1的夹角的余弦值为(  )

  A.34 B.537

  C.2537 D.53737

  解析 ∵(3e1+4e2)•e1=3e21+4e1•e2=3×12+4×1×1×cos60°=5,|3e1+4e2|2=9e21+16e22+24e1•e2=9×12+16×12+24×1×1×cos60°=37.

  ∴|3e1+4e2|=37.

  设3e1+4e2与e1的夹角为θ,则

  cosθ=537×1=537.

  答案 D

  9.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E为线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC→=a,BD→=b,则AF→=(  )

  A.14a+12b B.23a+13b

  C.12a+14b D.13a+23b

  解析 如图所示,AF→=AD→+DF→,

  由题意知,DE:BE=DF:BA=1:3.

  ∴DF→=13AB→.

  ∴AF→=12a+12b+13(12a-12b)=23a+13b.

  答案 B

  10.已知点B为线段AC的中点,且A点坐标为(-3,1),B点坐标为12,32,则C点坐标为(  )

  A.(1,-3) B.-54,54

  C.(4,2) D.(-2,4)

  解析 设C(x,y),则由AB→=BC→,得

  12--3,32-1=x-12,y-32,

  ∴x-12=72,y-32=12,⇒x=4,y=2,∴C(4,2).

  答案 C

  11.已知|a|=2|b|≠0,且关于x的方程x2+|a|x+a•b=0有实根,则a与b夹角的取值范围是(  )

  A.0,π6 B.π3,π

  C.π3,2π3 D.π6,π

  解析 设a与b的夹角为θ,

  ∵Δ=|a|2-4a•b≥0,

  ∴a•b≤|a|24,∴cosθ=a•b|a||b|≤|a|24|a||b|=12.

  ∵θ∈[0,π],∴θ∈π3,π.

  答案 B

  12.在△ABC所在平面内有一点P,如果PA→+PB→+PC→=AB→,则△PAB与△ABC的面积之比是(  )

  A.13 B.12

  C.23 D.34

  解析 因为PA→+PB→+PC→=AB→=PB→-PA→,所以2PA→+PC→=0,PC→=-2PA→=2AP→,所以点P是线段AC的三等分点(如图所示).所以△PAB与△ABC的面积之比是13.

  答案 A

  二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

  13.已知a=(2cosθ,2sinθ),b=(3,3),且a与b共线,θ∈[0,2π),则θ=________.

  解析 由a‖b,得23cosθ=6sinθ,∵cosθ≠0,

  ∴tanθ=33,又θ∈[0,2π),∴θ=π6或7π6.

  答案 π6或76π

  14.假设|a|=25,b=(-1,3),若a⊥b,则a=________.

  解析 设a=(x,y),则有x2+y2=20.①

  又a⊥b,∴a•b=0,∴-x+3y=0.②

  由①②解得x=32,y=2,或x=-32,

  y=-2,

  ∴a=(32,2),或a=(-32,-2).

  答案 (32,2)或(-32,-2)

  15.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若AB→•AC→=BA→•BC→=2,那么c=__________.

  解析 由题知

  AB→•AC→+BA→•BC→=2,

  即AB→•AC→-AB→•BC→=AB→•(AC→+CB→)=AB→2=2⇒c=|AB→|=2.

  答案 2

  16.关于平面向量a,b,c,有下列三个命题:

  ①若a•b=a•c,则b=c;②若a=(1,k),b=(-2,6),a‖b,则k=-3;③非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°.

  其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号)

  解析

  当a=0时,①不成立;对于②,若a‖b,则-2k=6,∴k=-3,②成立;对于③,由于|a|=|b|=|a-b|,则以|a|,|b|为邻边的平行四边形为菱形,如图.∠BAD=60°,AC→=a+b,由菱形的性质可知,a与a+b的夹角为∠BAC=30°.

  答案 ②

  三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

  17.(10分)已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=ma-3b.

  (1)当m为何值时,c与d垂直?

  (2)当m为何值时,c与d共线?

  解 (1)令c•d=0,则(3a+5b)•(ma-3b)=0,

  即3m|a|2-15|b|2+(5m-9)a•b=0,

  解得m=2914.

  故当m=2914时,c⊥d.

  (2)令c=λd,则3a+5b=λ(ma-3b)

  即(3-λm)a+(5+3λ)b=0,

  ∵a,b不共线,

  ∴3-λm=0,5+3λ=0,解得λ=-53,m=-95.

  故当m=-95时,c与d共线.

  18.(12分)如图所示,在△ABC中,∠C为直角,CA=CB,D是CB的中点,E是AB上的点,且AE=2EB,求证:AD⊥CE.

  证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a,则

  AD→•CE→=(AC→+CD→)•(CA→+AE→)

  =AC→•CA→+CD→•CA→+AC→•AE→+CD→•AE→

  =-a2+0+a•223a•22+a2•223a•22

  =-a2+23a2+13a2=0,

  ∴AD→⊥CE→,∴AD⊥CE.

  19.(12分)已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求|AD→|与点D的坐标.

  解 设D点坐标为(x,y),则AD→=(x-2,y+1),

  BC→=(-6,-3),BD→=(x-3,y-2),

  ∵D在直线BC上,即BD→与BC→共线,

  ∴存在实数λ,使BD→=λBC→,

  即(x-3,y-2)=λ(-6,-3).

  ∴x-3=-6λ,y-2=-3λ,∴x-3=2(y-2),

  即x-2y+1=0.①

  又∵AD⊥BC,∴AD→•BC→=0,

  即(x-2,y+1)•(-6,-3)=0.

  ∴-6(x-2)-3(y+1)=0.②

  由①②可得x=1,y=1.

  ∴|AD→|= 1-22+22=5,

  即|AD→|=5,D(1,1).

  20.(12分)在直角坐标系中,已知OA→=(4,-4),OB→=(5,1),OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|,求MB→的坐标.

  解 设点M的坐标为M(x,y).

  ∵OB→在OA→方向上的射影数量为|OM→|,

  ∴OM→⊥MB→,∴OM→•MB→=0.

  又OM→=(x,y),MB→=(5-x,1-y),

  ∴x(5-x)+y(1-y)=0.

  又点O,M,A三点共线,∴OM→‖OA→.

  ∴x4=y-4.

  ∴x5-x+y1-y=0,x4=y-4,解得x=2,y=-2.

  ∴MB→=OB→-OM→=(5-2,1+2)=(3,3).

  21.(12分)

  如图,在平面斜坐标系xOy中.∠xOy=60°,平面上任一点P关于斜坐标系的坐标是这样定义的;若OP→=xe1+ye2(其中e1,e2分别为与x轴,y轴同方向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).

  (1)若点P的斜坐标为(2,-2),求点P到O的距离|OP|;

  (2)求以O为圆心,以1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程.

  解 (1)因为点P的斜坐标为(2,-2),故OP→=2e1-2e2,|OP→|2=(2e1-2e2)2=8-8e1•e2=8-8cos60°=4,

  ∴|OP→|=2,即|OP|=2.

  (2)设圆上动点M的坐标为(x,y),则OM→=xe1+ye2,

  又|OM→|=1.故(xe1+ye2)2=1.

  ∴x2+y2+2xye1•e2=1.即x2+y2+xy=1.

  故所求方程为x2+y2+xy-1=0.

  22.(12分)如图,在四边形ABCD中,BC→=λAD→(λ∈R),|AB→|=|AD→|=2,|CB→-CD→|=23,且△BCD是以BC为斜边的直角三角形.

  (1)求λ的值;

  (2)求CB→•BA→的值.

  解 (1)因为BC→=λAD→,

  所以BC‖AD,

  且|BC→|=λ|AD→|.

  因为|AB→|=|AD→|=2,

  所以|BC→|=2λ.

  又|CB→-CD→|=23,

  所以|BD→|=23.

  作AH⊥BD交BD于H,

  则H为BD的中点.

  在Rt△AHB中,有

  cos∠ABH=BHAB=32,

  于是∠ABH=30°,

  所以∠ADB=∠DBC=30°.

  而∠BDC=90°,

  所以BD=BC•cos30°,即23=2λ•32,

  解得λ=2.

  (2)由(1)知,

  ∠ABC=60°,|CB→|=4,

  所以CB→与BA→的夹角为120°,

  故CB→•BA→=|CB→|•|BA→|cos120°=-4.